Mini aiuto allo studio in MATEMATICA per la scuola secondaria )

[Pagina senza pretese di esaustività o imparzialità, modificata 09/01/2025; col colore grigio distinguo i miei commenti rispetto al testo attinto da altri]

 

↑2025.01.09 insiemi come modello per risolvere problemi: in una scuola di 500 studenti il 60% conosce l’inglese, il 30% il francese, il 20% né l’una né l’altra lingua; quanti conoscono sia l’inglese, sia il francese? Soluzione: aiutati col diagramma di Venn, a partire dall’unione di quelli che conoscono inglese e/o francese che avrà cardinalità pari alla differenza tra 500 e la cardinalità dell’insieme che non conosce nessuna delle due lingue … Risposta 50.

 

↑2024.05.06 <pdf> esame di maturità 2023 per i Licei: il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 4 di 6 quesiti. [CzzC: troveresti le soluzioni in questo.pdf, ma qui spiego con parole mie, anche se più povere, la risposta al primo quesito]

 

↑2021.07.09 semplici esempi di espressioni con frazioni algebriche ed equazioni di 2° grado.

 

↑2020.03.gg curiosità ALGEBRICHE

- <yt> se [(ax + by = 3) & (ax² + by² = 7) & (ax³ + by³ = 16) & (ax⁴ + by⁴ = 42)], (ax⁵ + bx⁵ = ?)

- <yt> se [(log₈a + log₄b² = 5) & (log₈b + log₄a² = 7)], (ab = ?)
se [(log₂x = log_y16) & (xy = 64)], [(log₂x/y)² = ?]

- <yt> risolvi x² = 2^x; <youmath yt> 0⁰=?

- <yt> formula di Erone

 

↑2020.02.gg <test Invalsi> per ultimo anno licei non scientifici e Istituti professionali

 

↑2019.11.08 allenamento al recupero debito di MATE 1ª sup

 

↑2019.07.11 POLITEST: come prepararsi all'ammissione al Politecnico di Milano: test di matematica, fisica, comprensione verbale. Propongo un estratto-ripasso.

 

↑2019.06,20 <wired> maturità: soluzione del compito di matematica dei licei scientifici.

 

↑2018.10.05 esercizi sui limiti, anche con parametri

 

↑2018.05.18 in <matepratica> troveresti svolti studi di funzioni IRRAZIONALI, ad esempio con asintoto orizzontale, no flessi, con flesso orizzontale, con flesso verticale; oppure funzioni con un max, un min, 2 flessi: esponenziale, logaritmica. Analizzo un caso di punti di non derivabilità di una funzione (cuspide, flesso a tangente verticale)

 

↑2018.05 con questa tabella excel puoi inventare esercizi e (vedere soluzione) su determinate di una matrice, prodotto di MATRICI, cofattori, matrice trasposta e inversa

 

------------------------------------

SEGUITO DEL SOMMARIO

INSIEMI: la definizione di insieme tratta dalla teoria ingenua degli insiemi (da Cantor) (“una qualunque collezione di oggetti reali o del nostro pensiero, che siano distinguibili e ben determinati”) porta ad antinomie come quella additata da Russel. Oggi usiamo una definizione precisa che deriva dalla teoria assiomatica degli insiemi, con i 10 assiomi di ZFC (Zermelo-Fraenkel-Choice).

- cardinalità di un insieme (o potenza); elementi e appartenenza; rappresentazione di un insieme mediante proprietà caratteristica e mediante diagramma di Venn;

- sottoinsiemi propri di un insieme (se X ha n elementi, avrà 2ⁿ sottoinsiemi compresi i due impropri); unione, intersezione, differenza, complemento di un insieme (anche tra eventi);

- partizione di un insieme (se X ha elementi, avrà un numero di Bell B_n di partizioni);

- prodotto cartesiano di due insiemi; insiemi come modello per risolvere problemi.

LOGICA

- proposizione è una frase alla quale è possibile attribuire un valore di verità (vero o falso) secondo un criterio oggettivo

- gli enunciati aperti detti anche predicati sono invece quelle frasi che contengono qualche variabile e che si trasformano in una proposizione quando si assegnano dei valori alle variabili che li compongono, per esempio «x è un numero naturale minore di 5»; l’insieme dei valori assumibili dalla variabile si chiama dominio della variabile;

- quantificatori («esiste un x», «per ogni x»);

- i valori di verità dei connettivi logici «non» «e» «o» applicati a due proposizioni p e q si possono riassumere in tavole di verità con esito Vero o Falso

- il connettivo di implicazione «se … allora» viene indicato col simbolo di freccia doppia; il connettivo «se e solo se … allora» si dice doppia implicazione e si indica con freccia doppia bidirezionale: in tal caso le due proposizioni sono equivalenti

- leggi di De Morgan sulla negazione di una proposizione o di un  enunciato: 1ª negare la congiunzione di due proposizioni equivale a fare la disgiunzione delle due proposizioni negate. 2ª negare la disgiunzione di due proposizioni equivale a fare la congiunzione delle due proposizioni negate.

 

SIMBOLI

- <matematicam> i vari simboli di uguaglianza con =, ≡, ~ e combinati, ad esempio per congruenza algebrica ≡ (Alt8801), congruenza geometrica ≅ (Alt8773)

NUMERI

- C’è differenza tra numeri naturali e numeri interi? Sì

  - N è il simbolo dell’insieme dei numeri NATURALI: c’è chi lo intende comprensivo dello zero e chi invece indica con N₀=N∪{0}; è un insieme ordinato e illimitato superiormente; la sua potenza (cardinalità, dimensione) è infinito numerabile.

  - Z è il simbolo dell’insieme dei numeri INTERI relativi, spesso chiamato semplicemente insieme dei numeri INTERI: i numeri naturali, considerati come sottoinsieme proprio di Z, sono detti anche numeri interi positivi; il loro insieme complemento in Z è l’insieme dei numeri interi negativi.

- Q è il simbolo dell’insieme dei numeri RAZIONALI, che è l’insieme delle coppie ordinate di numeri interi, che si possono indicare col simbolo di frazione; hanno la potenza del numerabile. Ovviamente N e Z sono sottoinsiemi propri di Q. I numeri periodici sono razionali? Sì.
I numeri decimali sono tutti razionali? NO: non tutti i numeri decimali sono razionali: decimale, a dispetto del nome, non significa che è un numero uguagliabile ad una frazione avente per denominatore una potenza del 10, ma significa semplicemente un numero composto da due parti divise da una virgola, quindi anche π.
Tra due numeri razionali ci sono infiniti numeri razionali? Sì. I numeri razionali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta? NO, perché tra due numeri razionali ci possono essere infiniti numeri non razionali.

- R è il simbolo dell’insieme dei numeri REALI, che è l’insieme dei numeri razionali e irrazionali, quello i cui elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta.
Potremmo dire che sono irrazionali tutti i numeri che non si possono rappresentare da una frazione? Sì, ma dobbiamo distinguere due gruppi di numeri irrazionali:

    - chiamiamo numeri irrazionali algebrici quelli che possono risultare come soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti interi

    - chiamiamo numeri irrazionali trascendenti (o semplicemente numeri trascendenti) quelli che non possono essere soluzione come suddetto; un esempio? Il numero π o il numero e.

    Qual è la potenza (cardinalità) dell’insieme dei numeri trascendenti? L’insieme dei numeri irrazionali algebrici ha ancora la potenza del numerabile, mentre l’insieme dei numeri trascendenti ha la potenza del continuo, quindi l’insieme dei numeri REALI ha la potenza del continuo: "quasi tutti" gli irrazionali sono trascendenti; sia Q, sia l’insieme dei numeri irrazionali, sono densi in R, funzione di Dirichlet.
Possiamo dire che R è l’insieme dei punti di accumulazione di Q? Sì, ma solitamente si spiega oltre il liceo con i concetti di insieme discreto e continuo.

- C è il simbolo dell’insieme dei numeri complessi, che è un ampliamento dell’insieme dei numeri reali R attraverso l’introduzione dell’unità immaginaria i, definita come il numero tale che i²=-1; se definiamo algebrico, come suddetto, il numero che sia soluzione di un’equazione polinomiale a coefficienti interi, vediamo che tra tali equazioni ci sono anche quelle che diremmo impossibili, ad esempio x²=-1; se però inventassimo un’unità immaginaria i, come quella per cui valga i²=-1, potremmo estendere l’insieme dei numeri algebrici includendo le coppie di numeri reali (a, b) composte da una unità reale e da una unità immaginaria così esplicitata a + ib, detta numero complesso; ad es l’equazione x²-6x+25=0 ha soluzioni 3±4i.
Tutti i numeri reali sono numeri algebrici? Sì. Tutti i numeri algebrici sono reali? NO, ci sono gli algebrici complessi.

- <yt♫> il numero è tutto? Sezione aurea e successione di Fibonacci.

PATTUIZIONE che propongo allo studente che mi chiede aiuto:

- definire l'obiettivo atteso;

- avere sotto mano il libro di testo e gli appunti presi a scuola;

- svolgere autonomamente i compiti assegnati nella sessione didattica n, prima di avere appuntamento per la sessione n+1; dopo 3-4 sessioni check-point di consapevolezza sulla probabilità di raggiungere l'obiettivo atteso, eventuale ridefinizione dell'obiettivo, eventuale desistenza;

- tra il dire e il fare c’è di mezzo il domandare: tu chiedi e mi cerchi, non io te;

- raggiungere il 60% di efficacia nello svolgimento degli esercizi più facili prima di pretendere di affrontare quelli più difficili, ancorché così non si esaurisca il programma; ciò affinché si raggiunga almeno l'obiettivo di rinforzare le basi nell'eventualità che non si raggiungesse l'attesa sufficienza misurata dalla scuola frequentata.

VARIE

- Errata corrige: annoto risposte errate o migliorabili, senza presunzione di saccenteria, auspicando di essere a mia volta corretto.

- copertine dei volumi di "Nuova matematica a colori"