Mini aiuto allo studio dei VETTORI

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Pagine correlate: matematica medie e superiori

↑2020.04.gg <rai> il prodotto vettoriale in matematica e fisica; youmath prodotto scalare e vettoriale vettori 3d matrice esempio di prodotto vettoriale.xls, calcolo online del prodotto vettoriale

↑2019.09.20 somma di vettori conoscendone il loro modulo e l'angolo compreso

Se due vettori ā ed ī, aventi origine comune, formassero tra loro un angolo α di 90°, il loro vettore somma ū con la medesima origine sarebbe configurato dalla diagonale del rettangolo avente dimensioni |ā| e |ī| e si calcolerebbe col teorema di Pitagora:

|ū| = Radq(|ā|² + |ī|²)

Il suddetto caso con α=90° rientra come caso particolare nella regola del parallelogramma per la somma di due vettori con angolo α qualunque:

|ū| = Radq(|ā|² + |ī|² + 2∙|ā|∙|ī|∙cosα)

mentre l'angolo β formato dal vettore somma col primo vettore sarebbe

β = arcsin(|ī|∙sinα / |ū|)

In Nota1 vedi come si ricaverebbe la suddetta formula.

Si ricordi che la differenza di due vettori è contemplata dalla somma algebrica di vettori

ā - ī = ā + (- ī) dove (- ī) è il vettore opposto di ī, cioè avente stesso modulo e direzione, ma verso opposto.

↑2019.05.04 somma di vettori conoscendone le coordinate cartesiane.

Calcolare il modulo della risultante (somma vettoriale) dei seguenti 3 vettori

aventi origine nel punto (0;0) di un sistema di assi cartesiani e così dimensionati

· vettore a: |a| = 4, angolo con asse x = 60°

· vettore b: |b| = 2, angolo con asse x = 90°+45°

· vettore c: |c| = 4, angolo con asse x = 180°+45°

Oltre alla soluzione grafica, si propone la seguente soluzione algebrica in 3 passi:

1) scomposizione dei vettori nelle loro ascisse ed ordinate

· scomposizione del vettore a

a_x = 2 (metà del lato di un triangolo equilatero)

 a_y= √(16-4)  = √12 = 2√3

· scomposizione del vettore b

b_x = -√2 (lato di un quadrato di diagonale = 2)

b_y = √2

· scomposizione del vettore c

 c_x = -√8 = -2√2 (lato di un quadrato di diagonale = 4)

·c_y = -2√2

2) calcolo di r_x  e di r_y

· r_x = a_x + b_x + c_x = 2 -√2 -2√2 = 2 - 3√2

· r_y = a_y + b_y + c_y = 2√3 + √2 -2√2 = 2√3 - √2

3) calcolo il modulo della risultante r = √(r_x² + r_y²)

· r² = r_x² + r_y² = 4 + 18 – 12√2  + 12 + 2 -4√6 = 36 - 12√2 - 4√6

· r = √(36 - 12√2 - 4√6) = 3,038 ≈ 3,04

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Nota1: come si ricava la formula |ū| = Radq(|ā|² + |ī|² + 2∙|ā|∙|ī|∙cosα)

Per semplicità di scrittura e riferimento usiamo le lettere a, b, c al posto di |ā|, |ī|, |ū| e dimostriamo che

c = Radq(a² + b² + 2ab∙cosα)

In un sistema di assi cartesiani si consideri un vettore di lunghezza a, avente origine in (0;0) e direzione asse x;

si consideri un vettore di lunghezza b, avente la stessa origine e formante un angolo α col primo vettore (e dunque con l'asse x);

si indichi con c la lunghezza del vettore somma dei due, individuato con la diagonale del parallelogramma;

il primo vettore avrà coordinate (a; 0),

il secondo vettore avrà coordinate (b∙cosα; b∙sinα),

il vettore diagonale avrà coordinate (a + b∙cosα; b∙sinα),

per il teorema di Pitagora avremo

c = Radq[(a + b∙cosα)² + (b∙sinα)²]

c = Radq(a² + b² cos²α + 2ab∙cosα + b²∙sin²α)

sapendo che sin²α = 1 - cos²α, sostituiamo

c = Radq(a² + b² cos²α + 2ab∙cosα + b² - b²∙cos²α)

c = Radq(a² + b² + 2ab∙cosα)