Punti di non derivabilità di una funzione

Una funzione si dice derivabile in un punto x₀ se esistono finiti e uguali il limite destro e sinistro del rapporto incrementale in x₀: per precisione dovremmo dire che ciò non coincide con lo studio del limite sinistro e destro della derivata prima in x₀, anche se nella pratica quasi tutti gli studenti controllano questo; ed anch’io nel seguito.

Tra i casi di non derivabilità annotiamo in particolare:

- punto angoloso: quando il limDx e Sx del rapporto incrementale esistono ma sono diversi

- cuspide: quando i due suddetti limiti sono infiniti e di segno opposto (±∞)

- flesso a tangente verticale: quando i due suddetti limiti sono infiniti dello stesso segno

↑2018.mm.gg Analizzo inoltre la funzione y = (x⁵ – x⁴)^⅓È definita in tutto R.

Per lo studio del segno della y’ ignoriamo il denominatore (sempre positivo) e consideriamo il numeratore 5x⁴ – 4x^3:dunque y’ è positiva per x<0, negativa per 0<x<4/5, positiva per x>4/5.

Osserva che la y’(0) non è definita in x=0 e x=1: diremmo perciò che in quei punti la y non è derivabile.

Analizziamo i suddetti punti (considerando per semplificazione il limite della y’ anziché quello del rapporto incrementale come nella definizione in sommario):

- in x=0 il limite destro e sinistro della y’ differiscono (±∞) quindi lì sarà una cuspide (vedi definizione in sommario): qualcuno potrebbe supporre che, siccome y(0)=0 (è definita), siccome la y’ a sinistra di 0 è positiva e a destra è negativa, in x=0 ci sarebbe un punto di massimo ordinario: no, perché lo sarebbe solo se la y’(0) fosse definita e valesse 0, invece non è definita;

- in x=1 il limite destro e sinistro della y’ sono uguali (+∞), quindi lì sarà un flesso a tangente verticale

Ovvio il punto di minimo in x=4/5 perché y’(4/5)=0, prima è negativa, poi positiva.